Trọng Tâm Của Tam Giác: Khái Niệm, Tính Chất Và Cách Xác Định Trọng Tâm Của Tam Giác

Trọng tâm tam giác là gì? Làm thế nào để xác định trọng tâm? Hãy cùng chúng tôi theo dõi các bài viết dưới đây.

Trong các bài tập hình học lớp 7, các bạn thường sử dụng hình thức trọng tâm của một tam giác. Tuy nhiên, không phải học sinh nào cũng nắm rõ khái niệm tam giác, ý nghĩa và cách xác định trọng tâm của tam giác. Vì vậy, sau đây Download.vn sẽ cho bạn biết tất cả những gì bạn cần biết về trọng tâm của tam giác.

Định nghĩa trọng tâm của tam giác

Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của ba trung tuyến của nó

Ví dụ:

• Các trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC đi qua G.
• Điểm G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
• Tính chất của trọng tâm của tam giác

Tính chất của khối tâm của tam giác là khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác bằng 2/3 độ dài đường tâm tương ứng với đỉnh.

Giả sử tam giác ABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP, với G là trọng tâm, như hình vẽ bên. Theo các thuộc tính trên, chúng ta có:

GA = 2/3 giờ sáng

• GB = 2/3 A
• GC = 2/3 CP

Ngoài ra, chúng ta có một số hằng đẳng thức liên quan đến trọng tâm tam giác. Ở cạnh bên, điểm G chia mỗi dải phân cách thành 3 phần bằng nhau.

– Với đường trung bình AM ta có:

AM = 3 GM; AM = \ frac {3} {2} AG; AG = 2 GM; GM = \ frac {1} {2} AG,…

– Đối với đường trung trực BN, ta có:

BN = 3 GN; BN = \ frac {3} {2} BG; BG = 2 GN; GN = \ frac {1} {2} BG,…

– Đối với CP trung bình, chúng ta có:

CP = 3 GP; CP = \ frac {3} {2} CG; CG = 2 GP; GP = \ frac {1} {2} CG,…

Cách xác định trọng tâm của tam giác.

• Để xác định trọng tâm của tam giác, chúng ta thực hiện:
• phương pháp một:
• Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
• Thêm A và M, ta được trung tuyến AM.
• Tương tự với phần còn lại của dải phân cách.

Giao điểm của ba trung tuyến là điểm G. Theo đó G là trọng tâm của tam giác ABC.

• Phương pháp hai:
• Tìm trung điểm M của BC sao cho MC = MB
• Thêm A và M, ta được trung tuyến AM.

Lấy điểm G trên đoạn thẳng AM sao cho: AG \ = \ \ frac {2} {3} AM

Vì vậy, theo tính chất trọng tâm, ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho các tam giác ABC, AM, BN, CP lần lượt là ba trung tuyến của các đỉnh A, B, C và giao điểm của ba trung tuyến tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trọng tâm của hình học đặc biệt

A. Trọng tâm của tam giác vuông

Tam giác ABC vuông góc với B, kẻ trung tuyến BA từ B, vì BA là trung trực của một góc vuông nên BA = 1/2 CD = AD = AC.

Vậy tam giác ABC và tam giác ABC cân lần lượt tại A.

B. Trọng tâm của tam giác cân

Cho ABC là tam giác cân tại A và G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì tam giác cân tại A nên AG vừa là đường trung bình, đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

• kết quả:
• \ widehat {BAG} = \ widehat {CAG}
• AG vuông góc với BC.
• C. Trọng tâm của tam giác đều

Cho tam giác đều ABC, G là giao điểm của ba trung tuyến. Theo tính chất của tam giác đều, G vừa là khối tâm, khối tâm, tâm ngoài và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

D. Trọng tâm của tứ diện

Ta có G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Trọng tâm của tứ diện là giao điểm của 4 đường thẳng nối các đỉnh và trọng tâm của các đường chéo của tam giác.

Bài tập về trọng tâm tam giác.

Bài tập: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM = CN. BM cắt CN tại G. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

Trả lời:

Vì BM và CN là hai đường thẳng TT của tam giác BM cắt G và CN nên ta có:

• \ dfrac {BG} {BM} = \ dfrac {CG} {CN} = \ dfrac {2} {3}
• trong đó BM = CN nên BG = CN và GN = GM
• Xét ∇BNG và \ Delta CGM, chúng ta có:
• BG = CN
• GN = General Motors
• \ widehat {BGN} = \ widehat {CGM} (2 đường chéo)
• Suy luận: \ DeltaBNG tương tự như \ DeltaCMG
• Suy ra: BN = CM (1)

trong đó M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC (2).

Từ (1) và (2) ta có AB = AC => tam giác ABC cân tại A (đpcm).

Trên đây là những thông tin liên quan đến trọng tâm tam giác và các bài tập mẫu. Hi vọng đây sẽ là điều bổ ích giúp cho các bậc phụ huynh cũng như các em học sinh.

 

source https://crystalcentral.vn/trong-tam-tam-giac/